Савельев родился 18 января 1954 года. В 1977 году окончил Ленинградский политехнический институт, в 1986 году — Ленинградский инженерно-экономический институт. Кандидат экономических наук. С 1977 года работал на строительстве Саяно-Шушенской ГЭС, прошел путь от инженера до главного конструктора одного из объединений "КрасноярскГЭСстрой". С 1984 года — заместитель управляющего Всесоюзным трестом "Севзапметаллургмонтаж", с 1987 года — замначальника главка "Главленинградинжстрой", с 1989 года — президент российско-американского СП "ДиалогИнвест".
С 1993 года — председатель правления банка "Россия", с 1995 года — председатель правления банка "Менатеп Санкт-Петербург". С 2001 года — зампредседателя правления ОАО "Газпром". С 2004 года — замминистра экономического развития и торговли РФ. С 2007 года — первый вице-президент АФК "Система".
В "Аэрофлот" пришел на пост гендиректора в 2009 году.